I.

Nejprve uveďme běžnou formulaci Leibnizova zákonu identity (který Gottfried Wilhelm Leibniz navrhl v Discourse on Metaphysics¹)):

    Leibnizův zákon identity : ∀y ( (x=y) ↔ ∀F (F(x)≡F(y)) )

tedy: pro všechny entity x, y platí, že jsou identické právě tehdy, když mají všechny vlastnosti stejné. Všimněme si, že proměnné x, y, tedy proměnné pro individua, jsou vázány kvantifikátorem; podobně je tomu tak i s proměnnou F, proměnnou pro vlastnosti; Leibnizův zákon je tedy formulován prostředky predikátové logiky druhého řádu.

    Tato formule tvaru ekvivalence může být (a bývá) rozložena na dvě formule tvaru implikace, které bývají samostatně tematizovány. Jsou to

    princip nerozlišitelnosti identických věcí : ∀x∀y ( (x=y) → (∀F (F(x)≡F(y)) )

tedy: pro všechny entity x, y platí, že jsou-li identické, pak mají všechny vlastnosti stejné; a

    princip identity nerozlišitelných věcí : ∀x∀y ( (∀F (F(x)≡F(y)) → (x=y) )

tedy: pro všechny entity x, y platí, že mají-li entity všechny vlastnosti stejné, pak jsou tyto entity identické.

II.

    Aniž bychom podrobně zkoumali genezi problematizace Leibnizova zákona identity či principu nerozlišitelnosti identických věcí, jaká např. probíhala v souvislosti  modálních logik, je možné a zřejmě i žádoucí navrhnout formulaci (a vyložení) tohoto Leibnizova zákona i obou principů pomocí prostředků některé intenzionální logiky. Z hlediska intenzionálních logik patrně zkoumání problému identity individuí na základě vlastností postrádala odlišení empirických vlastností od vlastnosti neempirických.²) Souvislost je nasnadě: při výkladu aparátu ("metajazykové interpretace") modálních logik bylo vždy upřednostňováno hledisko extenzionalismu (pro-extenzionální zaměření má ovšem i Montagueho intenzionální logika). Extenzionalismus je názor, který tvrdí, že významem výrazů jsou extenze - v případě vět pravdivostní hodnoty, v případě vlastností individuí jednotlivé třídy individuí. Proti tomu je standardně namítáno, že extenze empirických výrazů (nikoli matematických!) se mění. Např. věta ´Varšava je hlavní město Polska´ byla - byl-li hlavním městem Polska Krakov - nepravdivá, v současném stavu okolností je pravdivá, extenze výrazu kočka se také stále mění, nejde o jednu třídu. Byla navržena (budeme dále uvažovat jen o výrazech pro vlastnosti) dvě řešení - a) kritizované a odmítnuté hledisko, že třída označovaná výrazem pro vlastnost je třídou všech předmětů, které měly, mají a budou mít danou vlastnost, b) hledisko, podle něhož je daná třída závislá na možných světech (zhruba řečeno: jistých myslitelných okolnostech). Tedy vlastnost jako "být kočka" je funkce, která různým možným světům přiřazuje různé třídy. Dodávám, že standardní filosoficko-logická analýza uvažuje, že individuum je něco, co může mít vlastnosti. Individuum a jeho vlastnosti jsou od sebe odlišeny. Vznikla ovšem i diskuse o tzv. esenciálních vlastnostech, které od individua nemá logik odlučovat; proti tomuto existuje argumentace antiesencialismu, avšak tato problematika je mimo rámec této statě.

    Nadále se přikloním ke koncepci Transparentní intenzionální logiky (TIL), neboť analýzu výrazů o vlastnostech (a nejen jich) zpřesnila přidáním parametru pro temporální závislosti. Obrázek je pak následující: pro každý časový okamžik je n možných světů (možný svět je maximální konzistentní souhrn všech faktů, které mohou platit), empirická vlastnost je funkcí z možných světů a časových okamžiků do tříd (např. individuí). Je kombinatoricky možné, myslitelné (jde o modální aspekt, eo ipso možný svět), že v určitém okamžiku jsou kočkou ta a ta individua, avšak je také možné, že kočkou jsou ona a tamta individua (prvky těch tříd nemusí být ani stejné, ani stejného počtu); která z těchto tříd koresponduje, odpovídá, stavu aktuálního světa, je úkolem zjišťování empirických věd.

 

III.

    Nejprve učiňme předběžnou teoretickou analýzu podformulí principu nerozlišitelnosti identických entit. Identita označovaná symbolem ´=´ je binární predikát aplikovatelný na individua, v souladu s interpretací predikátové logiky pak (pod)formule x=y nabývá pravdivostní hodnoty v závislosti na valuaci (valuace jsou "podchyceny" vázáním proměnných, kvantifikací přes všechna individua). Symbol ´≡´ je symbol identity, avšak nyní je to binární predikát aplikovatelný na pravdivostní hodnoty; (pod)formule tvaru A↔B nabývá pravdivostní hodnoty v závislosti na tom, jaká je valuace pro proměnné (případně) se vyskytující ve formulích A, B (A a B jsou metajazykové znaky pro formule). Ekvivalence, značená symbolem ´↔´, či implikace, značená symbolem ´→´, jsou pravdivostní funkce, které po aplikaci na dvojici pravdivostních hodnot (které jsou přiřazeny interpretací formulím, které jsou antecedentem a konsekventem implikace) "dávají" pravdivostní hodnotu. Vlastnost (značená symbolem F) je v predikátové logice chápána jako monadický predikát aplikovatelný na individua, je to třída individuí. (V kvantifikované modální logice je myslitelná taková interpretace, která vlastnost chápe jako funkci z možných světů do tříd. Toto však probíhá v rovině interpretace, není jasné, kam se ztrácí závislost na možném světě a příslušná proměnná.) (Pod)formule F(x) je pak jistým složením libovolného individua s vlastností, což je (volně řečeno) "pravdivé", či "nepravdivé"³); (pod)formule F(x) nabývá v dané interpretaci (a na základě valuace) pravdivostní hodnoty pravda, či nepravda.

 

IV.

    Aplikujme Transparentní intenzionální logiku (TIL). Nejprve uvedeme definici centrálního pojmu TIL, konstrukce. Stručně řečeno je konstrukce jistá procedura, model "intelektuálních" kroků (konstrukčního postupu), procedura, která konstruuje funkci. Každá funkce je "plochý" objekt, je to jen tabulka argumentů a hodnot. Jakákoli funkce může být ovšem zadána nekonečně mnoha způsoby, konstruována nekonečně mnoha procedurami, a to je právě to, co vedlo k vytvoření kategorie konstrukce. Intenze jsou jen funkce; konstrukce, které jsou "zadáním" funkcí, jsou entitami hyperintenzionálními. Konstrukce nám dokáží odlišit to, co něco "konstruuje", od toho, co je "konstruováno" (například konstrukci od jí konstruovaného objektu).

A) Konstrukce:

    1. Proměnná x

Proměnná je konstrukce, která konstruuje objekty v závislosti na valuaci v; říkáme, že proměnná v-konstruuje.

    2. Trivializace ⁰X

Jakkoli je konstrukce X komplexní, ⁰X je zcela triviální. Nechává X beze změny (tak, jak je). (Trivializace slouží jako "bezprostřední" konstrukce).

    3. Kompozice [X X₁...X_n]

Nechť X je konstrukce, která v-konstruuje funkční zobrazení M typu (ab₁...b_n), a nechť X₁, ..., X_n jsou konstrukce, které v-konstruují entity E₁, ..., E_n příslušných typů b₁, ..., b_n. Jestliže funkční zobrazení M je definováno na <E₁, ..., E_n >, pak konstrukce [X X₁....X_n], kompozice konstrukcí X, X₁, ..., X_n, v-konstruuje hodnotu (objekt nebo konstrukci) M na této n-tici. Jestliže X ne-v-konstruuje funkční zobrazení, které je definováno na této n-tici entit v-konstruovaných konstrukcemi X₁, ..., X_n, pak je tato konstrukce v-nevlastní. (Kompozice [X₀ X₁...X_n] konstrukcí X₀, X₁, ..., X_n je konstrukce spočívající v: a) vykonání X₀ k získání n-árního funkčního zobrazení, b) vykonání X₁, ..., X_n k získání n-tice entit, c) aplikování tohoto funkčního zobrazení na tuto n-tici.)

    4. Uzávěr [λx₁...x_n Y]

Jestliže kompozice "vypočítá" hodnotu nějaké funkce na daném argumentu, uzávěr "generuje" funkci. Nechť x₁, ..., x_n jsou navzájem odlišné proměnné v-konstruující entity příslušných typů b₁, ..., b_n a Y konstrukce v-konstruující prvky typu a. Pro jakoukoli valuaci v uzávěr [λ x₁...x_n Y] v-konstruuje funkční zobrazení M, které jakoukoli n-tici entit <E₁, ..., E_n> příslušných typů b₁, ..., b_n přiřazuje ten prvek (je-li jaký) a, který je v(E₁/x₁, ..., E_n/x_n)-konstruován konstrukcí Y, přičemž valuace v(E₁/x₁, ..., E_n/x_n) je jako v vyjma přiřazení E₁ proměnné x₁, ..., a E_n proměnné x_n. Pro jakoukoli v je konstrukce [λx₁...x_n Y] v-vlastní. (Při zápisu uzávěrů budeme vynechávat vnější závorky.)

 

    TIL využívá rozvětvené teorie typů. Filosoficky řečeno je teorie typů klasifikováním objektů, přičemž to mělo - podle původní Russellově motivace pro vybudování teorie typů - zbránit paradoxům. Atomické typy jsou třídy, do nichž patří "základní" objekty, molekulárními typy jsou třídy funkcí na objektech. Mj. intenze jsou typu řádu 1. Konstrukce, které konstruují objekty a funkce (příp. jiné konstrukce), nepatří do týchž typů jako objekty nebo funkce (či konstrukce), které konstruují.

B) Rozvětvená teorie typů

Nechť B je báze. Epistémická báze je třída individuí (ι), třída pravdivostních hodnot (ο), třída reálných čísel, resp. časových okamžiků (τ), třída možných světů, logický prostor (ω).

1. Typy řádu 1 (T)

(t₁i) Každý prvek B je typ řádu 1 nad B.

(t₁ii) Jestliže 0< m a a, b₁, ..., b_m jsou typy řádu 1 nad B, pak soubor (a b₁ ...b_m) všech m-árních (totálních a parciálních) funkčních zobrazení z b₁´ ... ´ b_m do a je také typ řádu 1 nad B.

(t₁iii) Nic není typ řádu 1 nad B, pokud to tak nevyplývá z (t₁i) a (t₁ii).

2. Konstrukce řádu n (C_n)

(c_ni) Nechť x je jakýkoliv typ řádu n nad B. Každá proměnná probíhající nad x je konstrukce řádu n nad B. Jestliže A je z (tj. náleží do ) typu x, pak ⁰A je konstrukce řádu n nad B.

(c_nii) Jestliže 0< m a X₀, X₁, ..., X_m jsou konstrukce řádu n, pak [X₀ X₁... X_m] je konstrukce řádu n nad B. Jestliže 0< m, x je typ řádu n nad B, a Y, stejně tak jako odlišné proměnné x₁, ..., x_m jsou konstrukce řádu n nad B, pak [λx₁...x_m Y] je konstrukce řádu n nad B.

(c_niii) Nic není konstrukce řádu n nad B, pokud to tak nevyplývá z (c_ni) a (c_nii).

3. Typy řádu n+1 (T_n)

Nechť *_n je souborem konstrukcí řádu n nad B. Soubor typů řádu n+1 nad B je definován následovně:

(t_n+1i) *_n a každý typ řádu n je typ řádu n+1.

(t_n+1ii) Jestliže 0< m a a, b₁, ..., b_m jsou typy řádu n+1 nad B, pak soubor (a b₁ ...b_m) všech m-árních (totálních a parciálních) funkčních zobrazení z b₁´ ... ´b_m do a je také typ řádu n+1 nad B.

(t_n+1iii) Nic není konstrukce řádu n+1 nad B, pokud to tak nevyplývá z (t_n+1i) a (t_n+1ii).

 

V.

    Při sestavení formulace Leibnizova zákona identity provedeme nejprve typovou analýzu elementárních částí formulace principu nerozlišitelnosti identických entit. Proměnné x a y jsou proměnnými pro individua (ta jsou typu ι), a protože konstruují objekty řádu 1, jsou typu *₁. Proměnná pro vlastnost, F, konstruuje objekty prvního řádu, vlastnosti, které jsou objekty typu ((οι)τ)ω)⁴),proto je sama typu *₁. Identita mezi individui,=, je typu (οιι), dvojicím individuí přiřazuje pravdivostní hodnoty. Identita ≡ je typu (οοο), dvojicím pravdivostních hodnot je přiřazována pravdivostní hodnota. Také ekvivalence, ↔, a implikace,→ je typu (οοο), dvojici pravdivostních hodnot přiřazují pravdivostní hodnotu pravda, nebo nepravda. Proměnná možných světů, w,  konstruuje možné světy (ty jsou typu w), w je tedy typu *₁. Proměnná časových okamžiků, t, konstruuje časové okamžiky (ty jsou typu τ), je tedy rovněž t typu *₁. Všeobecný kvantifikátor ∀ je (v našem případě) taková funkce, která třídě nějakého typu (zde řádu 1) přiřazuje pravdivostní hodnotu (je to tedy třída tříd); ∀ je tedy obecně typu (ο(οα)); budeme uplatňovat notační zkratku, kde ∀p ... píšeme namísto [⁰∀ λp ...].

    Sestavme teď klíčové podformule (podkonstrukce) principu nerozlišitelnosti identických entit.

a) Všechny proměnné, tedy x, y, w, t, F, jsou konstrukcemi. Každá z těchto konstrukcí konstruuje volně, v závislosti na v (je to otevřená konstrukce). Konstruují to, co jim daná jednotlivá valuace přiřadí.⁵) Po jejich λ-vázání (formule by pak vypadala např. λ x [x] ) jsou konstruovány všechny prvky oboru hodnot proměnné (např. x). Dodávám, že žádná z proměnných nebude v cílové formulaci Leibnizova zákona trivializována.⁶)

b) Symboly =, ≡ a ↔ (případně →) jsou znaky pro objekty. Těchto objektů budeme "dosahovat" jejich ("bezprostředním") konstruováním, trivializací. Tedy ⁰=, ⁰≡ a ⁰↔ ( případně ⁰→) jsou konstrukce, které konstruují objekty (zde funkce).

c) Sestavme teď konstrukci funkce, která konstruuje extenzi jakékoli (tedy i empirické) vlastnosti. Půjde tedy o to, aby určitá vlastnost měla hodnotu na w a t. Tohoto dosáhneme aplikací F na w a aplikací této aplikace na t. Tedy [Fw]t], po notační zkratce [F_wt].

    Tato konstrukce konstruuje volně, v závislosti na v (je to otevřená konstrukce). Vypočítává totiž právě tu hodnotu, kterou má daná funkce na argumentu (který je zde určen valuací). Po λ-vázání parametrů w a t (formule by tedy vypadala takto: λw λt [⁰Fw]t] ) je "nahodilost" překonána tím, že se konstruují hodnoty funkce na všech argumentech, tedy ta funkce.

d) Otažme se, co konstruuje konstrukce [F_wt x]. [F_wt x] po vázání proměnných funkci, která po aplikaci funkce - výsledku aplikace funkce konstruované konstrukcí F_w (tedy výsledku aplikace hodnoty dané F na hodnotu danou w a t) - na hodnotu proměnné x "dává" pravdivostní hodnotu. Analogicky konstruuje i konstrukce [F_wt y]. Pro ilustraci si uveďme následující příklad. Uvažme jeden řádek tabulky funkce konstruované konstrukcí ∀w∀t∀x∀F [F_wt x]. Hodnotami proměnných nechť jsou: Bill Clinton pro x, (řekněme) 2. 2. 2000 pro t, aktuální svět pro w, individuální role "být prezidentem USA" pro F. Hodnota oné konstrukce je v daném řádku pravda: Bill Clinton je extenzí vlastnosti být prezidentem USA v aktuálním světě a čase 2. 2. 2000.

e) Konstrukce [⁰≡ [F_wt x][F_wt y]] konstruuje pravdivostní hodnotu pravda, pokud argument funkce konstruované konstrukcí,   tedy dvojice pravdivostních hodnot, má stejné prvky; nepravda v opačném případě (po vázání všech proměnných získáme celou tabulku funkčního zobrazení, funkce).

f) Konstrukce [⁰= x y] konstruuje pravdivostní hodnotu, pokud x a y konstruují týž prvek (vázáním proměnných získáme funkci, která přiřazuje pravdivostní hodnotu).

 

VI.

    Analýza (konstrukce) Leibnizova zákona identity Transparentní intenzionální logikou má následující zápis:

    [⁰∀w [⁰∀t [⁰∀x [⁰∀y [λw [λt [λx [λy [ ⁰↔ [⁰= x y] [⁰∀[λF [⁰≡ [F_wtx][F_wty]]] ] ]]]]]]]],

po odstranění (snad znepřehledňujících) závorek:

    0∀w ⁰∀t ⁰∀x ⁰∀y λw λt λx λy [ ⁰↔ [⁰= x y] [⁰∀[λF [⁰≡ [F_wtx][F_wty]]] ]

Po uplatnění notační zkratky, kde ∀p ... píšeme namísto [⁰∀ λp ...], je zápis následující:

   ∀w∀t∀x∀y [ ⁰↔ [⁰= x y] [∀F [⁰≡ [F_wtx][F_wty]] ].

Je to tedy konstrukce tvaru kompozice (je to konstrukce řádu *₁ a typu řádu 2). Leibnizův zákon tedy konstruuje pravdivostní hodnotu.⁷)

Zápis principu identity nerozlišitelných věcí v TIL je:

   ∀w∀t∀x∀y [ ⁰→[∀F [⁰≡ [F_wtx][F_wty]]] [⁰= x y] ]

a zápis principu nerozlišitelnosti identických věcí v TIL je:

   ∀w∀t∀x∀y [ ⁰→ [⁰= x y] [∀F [⁰≡ [F_wtx][F_wty]]] ] ⁸).

 

 

LITERATURA:

MATERNA, Pavel (1998): Concepts and Objects. Helsinki: Acta Philosophica Fennica.

TICHÝ, Pavel (1988): The Foundations of Frege´s Logic. Berlin-New York: Walter de Gruyter.

 

POZNÁMKY:

* Tato stať čerpá svůj základ z mé reakce na příspěvek Radima Bělohrada, "Identita individuí v čase", na semináři Identita (Brno, 30.11. 2000), v jehož závěru Bělohrad dospěl - po prozkoumání koncepcí D. Lewise, Armstronga, Chisholma a jiných - k modifikaci formulace principu nerozlišitelnosti identických entit.

1 Podrobnosti k principu nerozlišitelnosti identických entit lze najít ve Peter FORREST (1997): The Identity of Indiscernibles, http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/identity-indiscernible/

2 Evokuji zde koncepce, které v prostředí modálních logik prováděly filosofické analýzy důsledků a předpokladů principu nerozlišnosti identických entit.

3 Každou třídu je možno chápat jako funkci z prvků do pravdivostních hodnot, tedy tzv. charakteristickou funkci. Charakteristická funkce tak slouží jako dichotomie daných prvků.

4 Vlastnost je modelována - jak nás upozornila filosofická analýza - jako funkce, kde hodnota - třída je závislá na argumentu možných světů a časů. Přesněji řečeno je vlastnost funkcí z možných světů (ω) do chronologie tříd, tj. do funkce z časových okamžiků τ do třídy příslušného typu, tj. např. typu individuí (οι). (Vlastnosti individuí uvažujeme jako vlastnosti prvního řádu.)

5 Výsledek konstrukce (proměnné) na dané valuaci budeme pro jednoduchost někdy nazývat hodnota proměnné.

6 Obecně lze říci, že konstrukce může být složena jen z konstrukcí. Proměnné, které již konstrukcemi jsou, nejsou trivializovány, každá z nich již je konstrukcí (trivializovány musejí být - nepočítáme-li objekty a další konstrukce - jen konstrukce takovýchto proměnných).

7 V případě, že F je založen na propozičním postoji, je nutno stanovit jisté podmínky aplikovatelnosti. Blíže viz Pavel TICHÝ (1986): Indiscernibility of Identicals. Studia Logica 45, 257-273. Za tuto poznámku, jako i za cenné korekce, vděčím Prof. Pavlu Maternovi.

8 Porovnání užitečnosti a filosofických důsledků (jako i předpokladů) této mnou navrhované formulace principu nerozlišitelnosti identických věcí s formulací navrženou Bělohradem, která vypadá takto:

   ∀x∀y ( (x=y) → (∀F(F(x) v čase t =F(y)) v čase t )

po opravení, po vázání proměnné t (jak v diskusi upozornil Tomáš Sobek)

   ∀x∀y ∀t ( (x=y) → (∀F(F(x) v čase t =F(y)) v čase t),

- ponechávám jiným.